在一般情況下，如果x與y關于某種對應關系函數f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函數為y=f -1(x)。反函數就是把原函數的x,y互換，原函數與反函數的導數互為倒數。

原函數與反函數的定義

（一）原函數：

原函數的定義：對于一個定義在某區間的已知函數f(x)，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都存在dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。

原函數的例子：∫cosxdx=sinx

原函數的定理：函數f(x)在某區間上連續的話，那么f(x)在這個區間里必會存在原函數。這是屬于充分不必要條件，還被叫做是原函數存在定理，要是函數有原函數的話，那它的原函數為無窮多個。

（二）反函數：

反函數的定義：設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f﹣1(x) 。反函數y=f ﹣1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。

反函數的例子：y=2x-1的反函數是y=0.5x+0.5

反函數性質：函數f(x)與它的反函數f-1(x)圖象關于直線y=x對稱；函數及其反函數的圖形關于直線y=x對稱；函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射的。

原函數與反函數的關系

1、函數的反函數，本身也是一個函數，由反函數的定義，原來函數也是其反函數的反函數，故函數的原來函數與反函數互稱為反函數。

2、反函數的定義域與值域分別是原來函數的值域與定義域。

3、偶函數必無反函數。

4、單調函數必有反函數。

5、奇函數如果有反函數，其反函數也是奇函數。

6、原函數與其反函數在他們各自的定義域上單調性相同。

7、互為反函數的圖象間的關系。

8、函數y=f(x)的圖象和它的反函數y=f-1(x)的圖象關于直線y＝x對稱，關于這一關系的理解要注意以下三點：

函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，這個結論是在坐標系中橫坐標軸為x軸，縱坐標軸為y軸，而且橫坐標軸與縱坐標軸的單位長度一致的前提下得出的；

（a,b）在y=f(x)的圖象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的圖象上；

若y＝f(x)存在反函數y=f-1(x)，則函數y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱的充分必要條件為f(x)＝f-1(x)，即原、反函數的解析式相同。