絕密★啟用前

試卷類型：A

2023年普通高等學校招生全國統一考試（新高考全國Ⅰ卷）

數   學
 

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1．答題前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 已知集合，，則（    ）

A  B.  C.  D. 2

2. 已知，則（    ）

A  B.  C. 0 D. 1

3. 已知向量，若，則（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（    ）

A.  B.

C  D.

5. 設橢圓的離心率分別為．若，則（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（    ）

A. 1 B.  C.  D.

7. 記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（    ）

A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件

B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件

C. 甲是乙的充要條件

D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8. 已知，則（    ）．

A.  B.  C.  D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9. 有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（    ）

A. 的平均數等于的平均數

B. 的中位數等于的中位數

C. 的標準差不小于的標準差

D. 的極差不大于的極差

10. 噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（    ）．

A.  B.

C.  D.

11. 已知函數的定義域為，，則（    ）．

A.  B.

C. 是偶函數 D. 為的極小值點

12. 下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（    ）

A. 直徑為的球體

B. 所有棱長均為的四面體

C. 底面直徑為，高為的圓柱體

D. 底面直徑為，高為的圓柱體

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13. 某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數字作答）．

14. 在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．

15. 已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．

16. 已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17. 已知在中，．

（1）求；

（2）設，求邊上的高．

18. 如圖，正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

（1）證明：；

（2）點在棱上，當二面角時，求．

19. 已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）證明：當時，．

20. 設等差數列的公差為，且．令，記分別為數列的前項和．

（1）若，求的通項公式；

（2）若為等差數列，且，求．

21. 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，

則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．

22. 在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．

（1）求的方程；

（2）已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．