復數

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考試內容：復數的概念；復數的加法和減法；復數的乘法和除法；數系的擴充。

復數知識要點：復數是高中代數的重要內容，在高考試題中約占8%-10%，一般的出一道基礎題和一道中檔題，經常與三角、解析幾何、方程、不等式等知識綜合.本章主要內容是復數的概念，復數的代數、幾何、三角表示方法以及復數的運算.方程、方程組，數形結合，分域討論，等價轉化的數學思想與方法在本章中有突出的體現.而復數是代數，三角，解析幾何知識，相互轉化的樞紐，這對拓寬學生思路，提高學生解綜合習題能力是有益的.數、式的運算和解方程，方程組，不等式是學好本章必須具有的基本技能.簡化運算的意識也應進一步加強.

1.知識網絡圖

　　2.復數中的難點

　　(1)復數的向量表示法的運算.對于復數的向量表示有些學生掌握得不好，對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對此應認真體會復數向量運算的幾何意義，對其靈活地加以證明.

　　(2)復數三角形式的乘方和開方.有部分學生對運算法則知道，但對其靈活地運用有一定的困難，特別是開方運算，應對此認真地加以訓練.

　　(3)復數的輻角主值的求法.

　　(4)利用復數的幾何意義靈活地解決問題.復數可以用向量表示，同時復數的模和輻角都具有幾何意義，對他們的理解和應用有一定難度，應認真加以體會.

　　3.復數中的重點

　　(1)理解好復數的概念，弄清實數、虛數、純虛數的不同點.

　　(2)熟練掌握復數三種表示法，以及它們間的互化，并能準確地求出復數的模和輻角.復數有代數，向量和三角三種表示法.特別是代數形式和三角形式的互化，以及求復數的模和輻角在解決具體問題時經常用到，是一個重點內容.

　　(3)復數的三種表示法的各種運算，在運算中重視共軛復數以及模的有關性質.復數的運算是復數中的主要內容，掌握復數各種形式的運算，特別是復數運算的幾何意義更是重點內容.

　　(4)復數集中一元二次方程和二項方程的解法.

4. ⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復數及其相關概念：

①   復數—形如a + bi的數（其中）；

②   實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；

③   虛數—當時的復數a + bi；

④   純虛數—當a = 0且時的復數a + bi，即bi.

⑤   復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）

⑥   復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個復數相等的定義：

.

⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.

注：①若為復數，則若，則.（×）[為復數，而不是實數]

若，則.（√）

②若，則是的必要不充分條件.（當，

時，上式成立）

5. ⑴復平面內的兩點間距離公式：.

其中是復平面內的兩點所對應的復數，間的距離.

由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的復數方程：.

⑵曲線方程的復數形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.

④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對值不等式：

設是不等于零的復數，則

①.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

②.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

注：.

6. 共軛復數的性質：

??????????????????????????????????????????

，（a + bi）??????????????

?????????????????????????????????

（）?????????????????????????????

注：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]

7 ⑴①復數的乘方：

②對任何，及有

③?

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論.

②在實數集成立的. 當為虛數時，，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結論：

???

若是1的立方虛數根，即，則????????????????????????????????????????????????? .

8.? ⑴復數是實數及純虛數的充要條件：

①.

②若，是純虛數.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

9. ⑴復數的三角形式：.

輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.

注：①為零時，可取內任意值.

②輻角是多值的，都相差2的整數倍.

③設則.

⑵復數的代數形式與三角形式的互化：

，，.

⑶幾類三角式的標準形式：

10. 復數集中解一元二次方程：

在復數集內解關于的一元二次方程時，應注意下述問題：

①當時，若＞0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若＜0，則有二相等復數根（為共軛復數）.

②當不全為實數時，不能用方程根的情況.

③不論為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.

11. 復數的三角形式運算：

棣莫弗定理：