直線與方程

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傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規定α= 0°.

2、 傾斜角α的取值范圍：??? 0°≤α＜180°. 當直線l與x軸垂直時, α= 90°.

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα

⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;

⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直線的斜率公式:

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：

?? 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1???? ????

兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即

直線的點斜式方程

1、? 直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為?????

2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為???

直線的兩點式方程

1、直線的兩點式方程：已知兩點其中??? y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中

直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）

2、各種直線方程之間的互化。

直線的交點坐標與距離公式

兩直線的交點坐標

1、給出例題：兩直線交點坐標

L1 ：3x+4y-2=0??? L1：2x+y +2=0????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

解：解方程 ??????????????????????

得 x=-2，y=2

所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）

1、兩點間距離

兩點間的距離公式

2、點到直線的距離公式

1．點到直線距離公式：

點到直線的距離為：

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，

：，則與的距離為

直線的斜率是用來衡量直線的傾斜程度的一個值，只要深入研究就會發現：直線斜率數值意義的解題功效是多方面的，如果熟練掌握了用直線斜率來處理這些問題，可以大大簡化解題速度．

1　借助直線的斜率巧解應用題

　　例1　某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節約經費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框對桌面的傾斜角為α(90°≤α＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m，b m(a＞b)．問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？

　　解　建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x＞0)，欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取得最大值．

　　由三角函數的定義知：A、B兩點坐標分別為(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直線AC、BC的斜率分別為：

kAC=tanxCA=，．

　　于是tanACB=

　　由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤，當且僅當=x，即x=時，等號成立，此時∠ACB取最大值，對應的點為C(,0)，因此，學生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳．

　　點評　本題是一個非常實際的數學問題，它不僅考查了兩點連線的斜率公式、用不等式法求最值以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉化為數學問題的能力．解決本題有幾處至關重要，一是建立恰當的坐標系，使問題轉化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉化成求tanACB的最大值，從而轉化為有關斜率的問題．

2　借助直線的斜率比較大小

　　例2　設M=，則M與N的大小關系為(??? )

　　A．M＞N??????? B．M=N????????????? ????????????? ????????????? C．M＜N???????? D．無法判斷　　　　解析　將問題轉化為比較A(－1，－1）與B(102001，102000）及C(102002，102001）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y=x，點A在直線的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N．答案：A．

　　點評　如果此題按常規方法處理直接作差將會比較難處理，而采用直線斜率的幾何意義就直接明了，易處理．

3　借助直線的斜率求直線的方程

　　例3．過點P(2,1)作直線l分別交x,y的正半軸于A,B兩點，求（1）△ABO面積的最小值，及相應的直線方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值時，求直線的方程．

　　解析　顯然直線效率存在，設直線方程為y-1=k(x-2)(k<0)，得點A(),? B(0,1-2k)，（1）S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-)，

∵k<0? ∴S△ABO≥4，此時即直線為x＋2y－4=0．

　　（2）︱PA︱·︱PB︱=,? 此時即直線為x＋y－3=0．

4　構造直線斜率證明不等式問題

　　例4．已知a、b、m都是正實數，并且a<b，求證：．

　　證明　如圖，在平面直角坐標系內，設點，點． 由m>0和0<a<b知點A在直線y=x在第三象限的圖像上，點B在直線y=x在第一象限的圖像的下方，于是可得斜率，即，原不等式得證．

　　點評　這是新教材高二數學上冊上的一道例題．教材上是用比較法去進行證明的，但細細研究會發現還可通過構造直線斜率來證明該不等式，因為所證式子酷似直線的斜率表達式，故可借助題設條件構造直線，然后運用傾斜角的大小與斜率的關系來證明不等式．

5　構造直線斜率解決變量或參數范圍問題

　　例5　若在圓上運動，求的取值范圍．

　　解　因為是直線OP（的斜率，在圓上，當p點是由原點O向圓作切線的切點時，取到最大值與最小值．

　　設直線OP的斜率為k，直線OP的方程為y=kx，圓心C的坐標為，半徑為．由于圓心C到切線的距離等于半徑，于是可得方程：，解得．所以的取值范圍為．

　　點評　可以看成是點與原點連線所在直線的斜率，則可以構造如下一個函數：設k=，得函數y=kx．于是所求的取值范圍問題就可以轉換為求函數y=kx所對應直線的斜率的取值范圍問題．