絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統一考試（乙卷）

文科數學

注意事項:

1．答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．

2．回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號．回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．

3．考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知全集,集合,則（    ）

A．    B．    C．    D．

2．設,則（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知命題﹔命題﹐,則下列命題中為真命題的是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．函數的最小正周期和最大值分別是（    ）

A．和    B．和2    C．和    D．和2

5．若滿足約束條件則的最小值為（    ）

A．18    B．10    C．6    D．4

6．（    ）

A．    B．    C．    D．

7．在區間隨機取1個數，則取到的數小于的概率為（    ）

A．      B．      C．      D．

8．下列函數中最小值為4的是（    ）

A．      B．    

 C．      D．

9．設函數，則下列函數中為奇函數的是（    ）

A．      B．      C．      D．

10．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（    ）

A．      B．      C．      D．

11．設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（    ）

A．      B．      C．      D．2

12．設，若為函數的極大值點，則（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知向量，若，則_________．

14．雙曲線的右焦點到直線的距離為________．

15．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．

16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．

三、解答題．共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求，，，；

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．

18．（12分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，求四棱錐的體積．

19．（12分）

設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．

（1）求和的通項公式；

（2）記和分別為和的前n項和．證明：．

20．（12分）

已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．

（1）求C的方程;

（2）已知O為坐標原點,點P在C上,點Q滿足,求直線斜率的最大值.

21．(12分)

已知函數．

（1)討論的單調性；

（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．

（二）選考題:共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．

22．[選修4-4:坐標系與參數方程](10分)

在直角坐標系中,的圓心為,半徑為1．

（1)寫出的一個參數方程;

（2)過點作的兩條切線．以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求這兩條切線的極坐標方程．

23．[選修4-5:不等式選講](10分)

已知函數．

(1)當時,求不等式的解集;

(2)若,求a的取值范圍．