絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統一考試（乙卷）

理科數學

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．設，則（    ）

A．             B．             C．              D．

2．已知集合，，則（    ）

A．                B．                 C．                D．

3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是（    ）

A．             B．            C．           D．

4．設函數，則下列函數中為奇函數的是（    ）

A．       B．         C．       D．

5．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（    ）

A．                B．                C．                D．

6．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（    ）

A．60種              B．120種             C．240種             D．480種

7．把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（    ）

A．      B．       C．     D．

8．在區間與中各隨機取1個數，則兩數之和大于的概率為（    ）

A．                B．                C．               D．

9．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高（    ）

A．                      B．

C．                      D．

10．設，若為函數的極大值點，則（    ）

A．             B．              C．           D．

11．設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（    ）

A．           B．            C．           D．

12．設，，．則（    ）

A．          B．          C．          D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．

14．已知向量，若，則__________．

15．記的內角的對邊分別為，面積為，，，則________．

16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為___________（寫出符合要求的一組答案即可）．

三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求﹔

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．

18．（12分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，M為的中點，且．

（1）求，

（2）求二面角的正弦值．

19．（12分）

記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．

（1）證明：數列是等差數列;

（2）求的通項公式．

20．（12分）

設函數，已知是函數的極值點．

（1）求a；

（2）設函數．證明:．

21．（12分）

已知拋物線的焦點為F，且F與圓上點的距離的最小值為4．

（1）求p；

（2）若點P在M上，是C的兩條切線，是切點，求面積的最大值．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．

22．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．

（1）寫出的一個參數方程；

（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知函數．

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范圍．