從定義出發，Ax=cx：A為矩陣，c為特征值，x為特征向量。矩陣A乘以x表示，對向量x進行一次轉換（旋轉或拉伸）（是一種線性轉換），而該轉換的效果為常數c乘以向量x（即只進行拉伸）。

特征向量是什么

矩陣的特征向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個非簡并的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

一個線性變換通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空間是相同特征值的特征向量的集合。

特征向量的第一性質

線性變換的特征向量是指在變換下方向不變，或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量。

特征向量對應的特征值是它所乘的那個縮放因子。

特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

線性變換的主特征向量是最大特征值對應的特征向量。

特征值的幾何重次是相應特征空間的維數。

有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特征值的集合。

例如，三維空間中的旋轉變換的特征向量是沿著旋轉軸的一個向量，相應的特征值是1，相應的特征空間包含所有和該軸平行的向量。該特征空間是一個一維空間，因而特征值1的幾何重次是1。特征值1是旋轉變換的譜中唯一的實特征值。