絕密★啟用前

2024年普通高等學校招生全國統一考試

全國甲卷理科數學

使用范圍：陜西、寧夏、青海、內蒙古、四川

注意事項：

1．答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上．

2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．

3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上．

4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．

5．考試結束后，只將答題卡交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1. 設，則（    ）

A.  B.  C. 10 D.

2. 集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若實數滿足約束條件，則的最小值為（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 等差數列的前項和為，若，，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

5. 已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（    ）

A 4 B. 3 C. 2 D.

6. 設函數，則曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 函數在區間的大致圖像為（    ）

A  B.

C.  D.

8 已知，則（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知向量，則（    ）

A. “”是“”的必要條件 B. “”是“”的必要條件

C. “”是“”的充分條件 D. “”是“”的充分條件

10. 設是兩個平面，是兩條直線，且.下列四個命題：

①若，則或          ②若，則

③若，且，則       ④若與和所成的角相等，則

其中所有真命題的編號是（    ）

A ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④

11. 在中內角所對邊分別為，若，，則（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13. 的展開式中，各項系數的最大值是______．

14. 已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比______．

15 已知，，則______．

16. 有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與差的絕對值不超過的概率是______．

三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分．

17. 某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：

（1）填寫如下列聯表：

能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產品的優級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？（）

附：

18. 記為數列的前項和，且．

（1）求的通項公式；

（2）設，求數列的前項和為．

19. 如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20. 設橢圓的右焦點為，點在上，且軸．

（1）求的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．

21. 已知函數．

（1）當時，求的極值；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．

[選修4-4：坐標系與參數方程]

22. 在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出的直角坐標方程；

（2）設直線l：（為參數），若與l相交于兩點，若，求的值.

[選修4-5：不等式選講]

23. 實數滿足．

（1）證明：；

（2）證明：．

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全國甲卷理科數學

使用范圍：陜西、寧夏、青海、內蒙古、四川

注意事項：

1．答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上．

2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．

3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上．

4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．

5．考試結束后，只將答題卡交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】D

【3題答案】

【答案】D

【4題答案】

【答案】B

【5題答案】

【答案】C

【6題答案】

【答案】A

【7題答案】

【答案】B

【8題答案】

【答案】B

【9題答案】

【答案】C

【10題答案】

【答案】A

【11題答案】

【答案】C

【12題答案】

【答案】C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

【13題答案】

【答案】5

【14題答案】

【答案】

【15題答案】

【答案】64

【16題答案】

【答案】

三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分．

【17題答案】

【答案】（1）答案見詳解   

（2）答案見詳解

【18題答案】

【答案】（1）   

（2）

【19題答案】

【答案】（1）證明見詳解；   

（2）

【20題答案】

【答案】（1）   

（2）證明見解析

【21題答案】

【答案】（1）極小值為，無極大值.   

（2）

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．

[選修4-4：坐標系與參數方程]

【22題答案】

【答案】（1）   

（2）

[選修4-5：不等式選講]

【23題答案】

【答案】（1）證明見解析   

（2）證明見解析