絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統一考試（甲卷）

理科數學

注意事項:

1．答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．

2．回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號．回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．

3．考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．設集合，則（    ）

A．      B．      C．       D．

2．為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（    ）

A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3．已知，則（    ）

A．      B．      C．      D．

4．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（    ）（）

A．1.5      B．1.2      C．0.8      D．0.6

5．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（    ）

A．      B．      C．      D．

6．在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應的側視圖是（    ）

A．      B．      C．      D．

7．等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（    ）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件      B．甲是乙的必要條件但不是充分條件

C．甲是乙的充要條件      D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8．2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．右圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（    ）

A．346      B．373      C．446      D．473

9．若，則（    ）

A．      B．      C．      D．

10．將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（    ）

A．      B．      C．      D．

11．已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（    ）

A．      B．      C．      D．

12．設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．曲線在點處的切線方程為__________．

14．已知向量．若，則________．

15．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．

16．已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為________．

三、解答題：共70分．解答應寫出交字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分．

17．（12分）

甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表：

（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?

附：

18．（12分）

已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．

19．（12分）

已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點，．

（1）證明：；

（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?

20．（12分）

拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．

（1）求C，的方程；

（2）設是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關系，并說明理由．

21．（12分）

已知且，函數．

（1）當時，求的單調區間；

（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．

22．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出P的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知函數．

（1）畫出和的圖像；

（2）若，求a的取值范圍．