2021年普通高等學校招生全國統一考試

數學

本試卷共4頁，22小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合，，則（    ）

A. B. C. D.

2.已知，則（    ）

A. B. C. D.

3.已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（    ）

A.2 B. C.4 D.

4.下列區間中，函數單調遞增的區間是（    ）

A. B. C. D.

5.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（    ）

A.13 B.12 C.9 D.6

6.若，則（    ）

A. B. C. D.

7.若過點可以作曲線的兩條切線，則（    ）

A. B. C. D.

8.有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（    ）

A.甲與丙相互獨立  B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立  D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中（），c為非零常數，則（    ）

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣數據的樣本極差相同

10.已知為坐標原點，點，，，，則（    ）

A.  B.

C. D.

11.已知點在圓上，點，，則（    ）

A.點到直線的距離小于10

B.點到直線的距離大于2

C.當最小時，

D.當最大時，

12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（    ）

A.當時，的周長為定值

B.當時，三棱錐的體積為定值

C.當時，有且僅有一個點，使得

D.當時，有且僅有一個點，使得平面

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數是偶函數，則______.

14.已知為坐標原點，拋物線：（）的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且.若，則的準線方程為______.

15.函數的最小值為______.

16.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推.則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為______；如果對折次，那么______.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知數列滿足，

（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；

（2）求的前20項和.

18.（12分）

某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.（12分）

記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.

（1）證明：；

（2）若，求.

20.（12分）

如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.

（1）證明：；

（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.

21.（12分）

在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足.記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.

22.（12分）

已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.

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